David Hilbert: Aportaciones de David Hilbert

El teorema de finitud

El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes le llevó en 1888 a la demostración en su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paúl Gordan había demostrado el teorema de la finitud de generadores para formas binarias usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar este método a funciones con más de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguir un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el teorema fundamental de Hilbert tambien conocido como teorema de la base de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes cuánticas en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Esto es, demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algorítmica sino mediante un teorema existencial.

Hilbert envió sus resultados a los Mathematische Annalen. Gordan, el experto en teoría de invariantes de los Annalen, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque era insuficientemente comprensiva. Su comentario fue: «Esto es teología, ¡no matemática!»

Klein, por otro lado, reconoció la importancia del trabajo y se aseguró de que fuese publicado sin alteraciones. Animado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert extendió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen. Tras leer el manuscrito, Klein le escribió, diciendo: «Sin duda éste es el trabajo más importante en álgebra general que los Annalen han publicado nunca». Más adelante, cuando la utilidad del método de Hilbert había sido reconocida universalmente, el propio Gordan diría: «He de admitir que incluso la teología tiene sus méritos».

Axiomas de Hilbert

Hilbert presentó un sistema de axiomas, un conjunto de 20 (originalmente 21) hipótesis propuestas en 1899 como el fundamento para un tratamiento moderno de la geometría euclidea. Aritmetizó la geometría por medio de los “cálculos de segmentos” basados en los teoremas fundamentales de Pascal y Descartes. Esto le abría el camino a toda geometría, incluyendo también geometrías no arquimedianas. Hilbert no sólo propuso la idea de que los axiomas admitían interpretaciones múltiples, sino que desplegó su habilidad matemática manejando un gran número de modelos (muchos puramente aritméticos) que servían para investigar propiedades del sistema de axiomas. En esta época, le interesaban especialmente cuestiones acerca de la independencia entre los axiomas, y los cuerpos teóricos que es posible erigir sobre ciertos grupos de axiomas. Por estas razones su obra serviría como un modelo esencial para la investigación de fundamentos y la práctica axiomática en las décadas siguientes.

El sistema axiomático de Hilbert se compone de nueve nociones primitivas: Tres términos primitivos:

punto, linea recta, plano,

y seis relaciones primitivas:

Orden, una relación ternaria entre puntos;
Pertenencia, tres relaciones binarias, una de ellas entre puntos y rectas, otra entre puntos y planos, y otra entre rectas y planos;

Congruencia, dos relaciones binarias, una entre segmentos y otra entre ángulos, denotadas por ≅ .

El enfoque de Hilbert marcó el cambio al sistema axiomático moderno. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometría puede tratar de cosas, sobre las que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar un significado explícito a los conceptos indefinidos. Como dice Hilbert, los elementos tales como el punto, la recta, el plano y otros, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que se discute y se desarrolla son sus relaciones definidas.

Hilbert comienza enumerando los conceptos sin definición: punto, recta, plano, incidencia (una relación entre puntos y planos), estar entre, congruencia de pares de puntos y congruencia de ángulos. Los axiomas unifican la geometría plana y la salida de Euclides en un único sistema.

El programa de Hilbert

En 1920 propuso de forma explícita un proyecto de investigación (en metamatematica, como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre unas bases sólidas y completamente lógicas. Creía que, en principio, esto podía lograrse, mostrando que:

toda la matemática se sigue de un sistema finito de axiomas escogidos correctamente; y que tal sistema axiomático se puede probar consistente.

El programa sigue siendo reconocible en la filosofía de la matemática más popular, donde se le llama normalmente formalismo. Por ejemplo, el grupo Bourbaki adoptó una versión selectiva y diluida como adecuada para los requisitos de sus proyectos gemelos de:

escribir trabajos fundamentales enciclopédicos, y dar soporte al sistema axiomático como herramienta de investigación. Este enfoque ha tenido éxito e influencia en relación con el trabajo de Hilbert en el álgebra y el análisis funcional, pero no ha conseguido cuajar igual con sus intereses en física y lógica.

Los 23 problemas

Los problemas de Hilbert.

Hilbert propuso una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver en el congreso internacional de matemáticos de parís en 1900. Se reconoce de forma general que esta es la recopilación de problemas abiertos más exitosa y de profunda consideración producida nunca por un único matemático

Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido durante todo el siglo XX, y actualmente se ha llegado a la conclusión de que unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Algunos continúan siendo actualmente un reto para los matemáticos.

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?

2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?

3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.

4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?

5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.

6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?

7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2v2, etc.

8. El problema de la distribución de los números primos.

9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.

10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.

11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.

12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.

13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.

14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.

15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.

16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.

17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.

18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.

19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?

20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.

21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.

22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.

23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones

Análisis funcional

Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de ecuaciones diferenciales e integrales; su trabajo tuvo consecuencias directas en partes importantes el análisis funcional moderno. Para poder llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de un espacio euclideo de infinitas dimensiones, llamado más tarde espacio de Hilbert. Su trabajo en esta parte del análisis proporcionó la base de importantes contribuciones a la física matemática en las dos décadas siguientes, aunque en direcciones que por entonces no se podían anticipar. Más tarde, Stefan Banach amplificó el concepto, definiendo los espacios de Banach. El espacio de Hilbert es por sí misma la idea más importante del análisis funcional, que creció a su alrededor durante el siglo XX.

La curva de Hilbert

La curva de Hilbert (también conocida como la curva que recubre el plano de Hilbert) es una curva fractal continua que recubre el plano descrita inicialmente por el matemático alemán David Hilbert en 1891, como una variante de las curvas que recubren el plano descubiertas por Giussepe Peano en 1890.

Tanto la curva de Hilbert original como sus aproximaciones discretas son útiles porque proveen una correspondencia entre el espacio 1D y 2D que conserva bastante bien la localidad. Si (x,y) son las coordenadas de un punto dentro del cuadrado unitario, y d es la distancia a lo largo de la curva cuando se llega a ese punto, entonces los puntos que tienen distancias cercanas a d también tienen valores cercanos a (x ,y). Lo contrario no siempre puede ser cierto, ya que puntos con coordenadas (x, y) cercanas, pueden tener valores de d muy alejados. Esto es inevitable cuando se asigna un espacio 2D a un espacio 1D. Sin embargo, la curva de Hilbert consigue mantener bastante bien los valores de d cercanos gran parte del tiempo. Así que las asignaciones en ambas direcciones mantienen bastante bien la localidad.

Debido a esta propiedad de localidad, la curva de Hilbert se utiliza en la informática.